No último mes nao me restou muito tempo para o blog e daí o porque da demora. Mas vamos retomar de onde paramos e dessa vez sem muito blablabla.
Aparentemente a única forma de sabermos que de fato a chance de se obter caras em lancamentos de moedas é "meio a meio" é repetir o experimento infinitamente, o que para nós é claramente impossível. Em face a esse dilema eu nao pude evitar de lembrar do post "A arte de projetar", onde há uma passagem em que eu leio o horóscopo do meu signo e o mesmo diz para usar a intuicao em face a questionamentos profundos. Aparentemente estamos cara-a-cara com um questionamento profundo e como vimos no último post, apesar da intuicao estar correta, ela nao nos ajuda em nada a explicar o fenomeno de interesse. No mundo real ninguém está interessado em saber que a chance de um paciente de cancer sobreviver a um determinado tratamento é 30% baseado apenas em intuicao ou achismos, nesse caso as respostas tem que ser claras e precisas. Eu pelo menos nao ficaria muito convencido se um médico me dissesse que apesar das estatísticas mostrarem que a chance de alguém sobreviver a um ataque cardíaco é 30%, a intuicao dele diz que na verdade é 80%. Voces ficariam? Sendo assim, eu reescreveria meu próprio horóscopo da seguinte forma: "siga a sua intuicao, mas procure saber o porque e sempre que possível em que grau ela está (in)correta".
Eu nao sou matemático, mas na minha modesta opiniao é na matemática, junto com as artes e a música, que a mente humana mostra toda a sua beleza e grandiosidade. E é justamente gracas a matemática que esse e muitos outros dilemas podem ser resolvidos. A resposta para esse problema se chama A lei dos grandes números, um teorema fundamental da teoria da probabilidade. No nosso caso a probabilidade real de caras nao pode ser observada, pois nao podemos repetir o experimento infinitamente, mas a lei dos grandes números nos diz que na verdade nao precisamos, pois dado que um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade observada converge em direcao à probabilidade real conforme o numero de repetições se torna arbitrariamente grande. No nosso caso, isso significa que quanto mais lancamentos da moeda fizermos, mais a razao de caras sob o número total de lancamentos vai se aproximar de 0,5. Isso é tudo que precisamos saber, ou seja, quanto mais "andamos" em direcao ao infinito mais a probabilidade se aproxima da probabilidade real ou teórica. Voltando ao post passado, o fato de ter obtido 80% de caras se deve ao pequeno número de experimentos (10 apenas) que fizemos. Mas se tivéssemos feito 1000 lancamentos da moeda, por exemplo, observaríamos um valor muito mais próximo de 50%. Portanto, da próxima vez que alguém lhe disser que 80% das pessoas que tomam jucara antes de dormir morrem de indigestao, procure saber o número total de pessoas sob o qual essa porcentagem foi calculada antes de decidir tomar ou nao jucara a noite.
A idéia de espiar o que acontece em esferas além da observancia humana é maravilhosa e tem diversas aplicacoes.
Um exemplo é o comércio eletronico. Quando fazemos uma compra pela internet com cartao de crédito, exigimos que a transacao seja absolutamente segura no sentido de nao termos o nosso número interceptado por terceiros mal intencionados. De forma a garantir essa seguranca, o número do cartao é primeiramente codificado ficando ilegível a qualquer um que nao conheca a chave decodificadora (processo conhecido como criptografia) . Portanto, a única forma de ler a informacao original é através de uma chave de decodificacao, a qual geralmente está em posse do provedor dos bens ou servicos sendo comprados. Normalmente essa chave é baseada em números primos, de forma que quanto maior o número mais complexa é a chave e obviamente mais difícil de ser descoberta ela se torna. A grande sacada é que os números primos sao infinitos e sendo assim, temos a garantia de que quando uma determinada chave nao for mais o suficiente segura, poderemos sempre escolher uma de maior complexidade. Mais uma vez a idéia do infinito potencial se faz presente, mas a pergunta óbvia é: como podemos saber se os números primos sao infinitos uma vez que nao podemos observar a infinute dos números naturais? Essa é uma pergunta tao antiga quanto o período Helenístico da grécia antiga. A resposta é de igual antiguidade datando de 300 AC e foi dada por Euclides na forma de uma prova matemática onde ele usa argumentos simples mas infalíveis para provar que de fato há infinitos números primos. É interessante ver a invariancia conceitual das provas matemáticas, ou seja, elas se constituem em verdades tao robustas que se mantém invariáveis independente do passar das eras.
Outro exemplo do uso do infinito potencial é o cálculo da área do círculo. Suponha que a fórmula da área do círculo ainda nao foi descoberta, mas voce é engenheiro e recebeu uma proposta de trabalho milhonária envolvendo a construcao de estádios de futebol em forma de círculo. Obviamente voce precisaria calcular a área dessas estruturas de forma a poder estimar a área reservada para assentos, camarotes e etc.. E agora José? Vai esperar alguém aparecer e lhe dar a fórmula de mao beijada? Claro que nao, voce pode nao saber como calcular a área do círculo mas sabe como calcular a área de um triangulo, quadrado ou de um polígono arbitrário, por exemplo. Sendo assim, voce tem a brilhante idéia de sobrepor um triangulo dentro de um circulo e tentar aproximar a área do círculo através da área do triangulo, já que a área do triangulo representa uma porcao da área do círculo (vide figura abaixo). Voce nota porém, que essa seria uma aproximacao bastante pobre já que grande parte do círculo ainda se encontra fora do triangulo. Depois disso, voce pensa que de repente seria melhor usar um quadrado, já que a área do quadrado representa uma maior regiao dentro do círculo em comparacao a área do triangulo, resultando assim numa melhor aproximacao. Isso lhe dá entao o insight que faltava para notar que se continuar a aumentar o número de lados do polígono, terá aproximacoes cada vez melhores. Dessa forma, quanto mais o número de lados se desloca para o infinito, mais a área do polígono se aproxima da área do círculo e sendo assim, podemos ver um círculo como um polígono de infinitos lados. O interessante é que depois de algum ponto a aproximacao já é precisa o suficiente para qualquer aplicacao prática que venhamos a ter, apesar de termos a garantia que sempre poderemos ter melhores aproximacoes. Essa é a idéia por trás da fórmula que aprendemos na escola para o cálculo da área de um círculo ou disco a propósito, e teria sido bem mais fácil de entender se o professor tivesse mostrado como a fórmula foi derivada. A figura abaixo ilustra esse conceito.
Como disse antes, o assunto é bastante extenso e ainda teria muitas outras coisas que eu gostaria de falar a respeito, mas no momento vou dar uma pausa para falar de outros temas. Mas garanto que esta nao será a última vez que falarei sobre o conceito intrigante que o infinito representa.
Aparentemente a única forma de sabermos que de fato a chance de se obter caras em lancamentos de moedas é "meio a meio" é repetir o experimento infinitamente, o que para nós é claramente impossível. Em face a esse dilema eu nao pude evitar de lembrar do post "A arte de projetar", onde há uma passagem em que eu leio o horóscopo do meu signo e o mesmo diz para usar a intuicao em face a questionamentos profundos. Aparentemente estamos cara-a-cara com um questionamento profundo e como vimos no último post, apesar da intuicao estar correta, ela nao nos ajuda em nada a explicar o fenomeno de interesse. No mundo real ninguém está interessado em saber que a chance de um paciente de cancer sobreviver a um determinado tratamento é 30% baseado apenas em intuicao ou achismos, nesse caso as respostas tem que ser claras e precisas. Eu pelo menos nao ficaria muito convencido se um médico me dissesse que apesar das estatísticas mostrarem que a chance de alguém sobreviver a um ataque cardíaco é 30%, a intuicao dele diz que na verdade é 80%. Voces ficariam? Sendo assim, eu reescreveria meu próprio horóscopo da seguinte forma: "siga a sua intuicao, mas procure saber o porque e sempre que possível em que grau ela está (in)correta".
Eu nao sou matemático, mas na minha modesta opiniao é na matemática, junto com as artes e a música, que a mente humana mostra toda a sua beleza e grandiosidade. E é justamente gracas a matemática que esse e muitos outros dilemas podem ser resolvidos. A resposta para esse problema se chama A lei dos grandes números, um teorema fundamental da teoria da probabilidade. No nosso caso a probabilidade real de caras nao pode ser observada, pois nao podemos repetir o experimento infinitamente, mas a lei dos grandes números nos diz que na verdade nao precisamos, pois dado que um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade observada converge em direcao à probabilidade real conforme o numero de repetições se torna arbitrariamente grande. No nosso caso, isso significa que quanto mais lancamentos da moeda fizermos, mais a razao de caras sob o número total de lancamentos vai se aproximar de 0,5. Isso é tudo que precisamos saber, ou seja, quanto mais "andamos" em direcao ao infinito mais a probabilidade se aproxima da probabilidade real ou teórica. Voltando ao post passado, o fato de ter obtido 80% de caras se deve ao pequeno número de experimentos (10 apenas) que fizemos. Mas se tivéssemos feito 1000 lancamentos da moeda, por exemplo, observaríamos um valor muito mais próximo de 50%. Portanto, da próxima vez que alguém lhe disser que 80% das pessoas que tomam jucara antes de dormir morrem de indigestao, procure saber o número total de pessoas sob o qual essa porcentagem foi calculada antes de decidir tomar ou nao jucara a noite.
A idéia de espiar o que acontece em esferas além da observancia humana é maravilhosa e tem diversas aplicacoes.
Um exemplo é o comércio eletronico. Quando fazemos uma compra pela internet com cartao de crédito, exigimos que a transacao seja absolutamente segura no sentido de nao termos o nosso número interceptado por terceiros mal intencionados. De forma a garantir essa seguranca, o número do cartao é primeiramente codificado ficando ilegível a qualquer um que nao conheca a chave decodificadora (processo conhecido como criptografia) . Portanto, a única forma de ler a informacao original é através de uma chave de decodificacao, a qual geralmente está em posse do provedor dos bens ou servicos sendo comprados. Normalmente essa chave é baseada em números primos, de forma que quanto maior o número mais complexa é a chave e obviamente mais difícil de ser descoberta ela se torna. A grande sacada é que os números primos sao infinitos e sendo assim, temos a garantia de que quando uma determinada chave nao for mais o suficiente segura, poderemos sempre escolher uma de maior complexidade. Mais uma vez a idéia do infinito potencial se faz presente, mas a pergunta óbvia é: como podemos saber se os números primos sao infinitos uma vez que nao podemos observar a infinute dos números naturais? Essa é uma pergunta tao antiga quanto o período Helenístico da grécia antiga. A resposta é de igual antiguidade datando de 300 AC e foi dada por Euclides na forma de uma prova matemática onde ele usa argumentos simples mas infalíveis para provar que de fato há infinitos números primos. É interessante ver a invariancia conceitual das provas matemáticas, ou seja, elas se constituem em verdades tao robustas que se mantém invariáveis independente do passar das eras.
Outro exemplo do uso do infinito potencial é o cálculo da área do círculo. Suponha que a fórmula da área do círculo ainda nao foi descoberta, mas voce é engenheiro e recebeu uma proposta de trabalho milhonária envolvendo a construcao de estádios de futebol em forma de círculo. Obviamente voce precisaria calcular a área dessas estruturas de forma a poder estimar a área reservada para assentos, camarotes e etc.. E agora José? Vai esperar alguém aparecer e lhe dar a fórmula de mao beijada? Claro que nao, voce pode nao saber como calcular a área do círculo mas sabe como calcular a área de um triangulo, quadrado ou de um polígono arbitrário, por exemplo. Sendo assim, voce tem a brilhante idéia de sobrepor um triangulo dentro de um circulo e tentar aproximar a área do círculo através da área do triangulo, já que a área do triangulo representa uma porcao da área do círculo (vide figura abaixo). Voce nota porém, que essa seria uma aproximacao bastante pobre já que grande parte do círculo ainda se encontra fora do triangulo. Depois disso, voce pensa que de repente seria melhor usar um quadrado, já que a área do quadrado representa uma maior regiao dentro do círculo em comparacao a área do triangulo, resultando assim numa melhor aproximacao. Isso lhe dá entao o insight que faltava para notar que se continuar a aumentar o número de lados do polígono, terá aproximacoes cada vez melhores. Dessa forma, quanto mais o número de lados se desloca para o infinito, mais a área do polígono se aproxima da área do círculo e sendo assim, podemos ver um círculo como um polígono de infinitos lados. O interessante é que depois de algum ponto a aproximacao já é precisa o suficiente para qualquer aplicacao prática que venhamos a ter, apesar de termos a garantia que sempre poderemos ter melhores aproximacoes. Essa é a idéia por trás da fórmula que aprendemos na escola para o cálculo da área de um círculo ou disco a propósito, e teria sido bem mais fácil de entender se o professor tivesse mostrado como a fórmula foi derivada. A figura abaixo ilustra esse conceito.
Como disse antes, o assunto é bastante extenso e ainda teria muitas outras coisas que eu gostaria de falar a respeito, mas no momento vou dar uma pausa para falar de outros temas. Mas garanto que esta nao será a última vez que falarei sobre o conceito intrigante que o infinito representa.
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